Theorie unendlich vieler Oszillatoren...

[EDE-WOLF]

edit Uli: Thema ausgelagert aus Nachlese PA-Treffen 2009.

ist es theoretisch möglich, mit hilfe von unendlich vielen oszillatoren die beim zeitpunkt t0 eingeschaltet werden und alle eine definierte periodenzahl "spielen", ein einziges rechteck zu produzieren?

 

[ThomasA1000]

Wenn du sie wieder ausschaltest schon. Ansonsten gibts natürlich periodische Signale. Aber das weißt du doch sicher selbst????

Ein Rechteck per Definition gibts natürlich nicht, wegen der Differenzierbarkeit der Funktionen...

 

[EDE-WOLF]

Wenn du sie wieder ausschaltest schon. Ansonsten gibts natürlich periodische Signale. Aber das weißt du doch sicher selbst????

Ein Rechteck per Definition gibts natürlich nicht, wegen der Differenzierbarkeit der Funktionen...

kannst du mir zeigen, warum das geht?

ich formuliers anders: komme ich beliebig nahe an ein ideales rechteck drann, wenn ich beliebig viele Sinusgeneratoren mit gleicher phasenlage habe die ich zu einem definierten (gleichen) zeitpunkt anschalten kann und eine definierte (unterschiedliche) anzahl von schwingungsdurchläufen (komplette ohne sprung) laufen lassen kann?

 

[ThomasA1000]

Beliebig nahe ja.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation
Du kannst eine gegebene (periodische!) Funktion durch eine Summe von trigonometrischen Funktionen darstellen (oder zumindest annähern)

f(x)=a/2+[Summe(k=1,n)bk*cos(w omega x)] + [Summe(k=1,n)ck*sin ()]
Diese Summe sollte dann gegen die Funktion konvergieren. Eine solche Funktion könnte sein:

-1 [-Pi,0]
g(x)= 1 [0,Pi]

Was hat er vor?

 

[EDE-WOLF]

Beliebig nahe ja.
http://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Transformation
Du kannst eine gegebene (periodische!) Funktion durch eine Summe von trigonometrischen Funktionen darstellen (oder zumindest annähern)

f(x)=a/2+[Summe(k=1,n)bk*cos(w omega x)] + [Summe(k=1,n)ck*sin ()]
Diese Summe sollte dann gegen die Funktion konvergieren. Eine solche Funktion könnte sein:

-1 [-Pi,0]
g(x)= 1 [0,Pi]

Was hat er vor?

geht übrigens nicht!

du kannst zu einem bestimmten zeitpunkt mit unendlich oszillatoren keinen einzelnen rect erzeugen!

dafür müssten sie "unenedlich früh" gestartet werden....

 

[ThomasA1000]

geht übrigens nicht!

du kannst zu einem bestimmten zeitpunkt mit unendlich oszillatoren keinen einzelnen rect erzeugen!

dafür müssten sie "unenedlich früh" gestartet werden....

Die von mir angeführte Funktion kannst du sehr wohl darstellen. Ich hab die Lösung vor mir.
Wie du "einzelnes Rechteck" definierst und wie du die Periode in den Griff bekommst lies ich von Anfang an dir über...

 

[Carl]

Fourier klappt für periodische stetige Signale mit Zuhilfenahme einer endlichen Anzahl von Sinusschwingungen. Also muss ich dafür entweder beim Urknall anfangen oder einfach mathematisch annehmen, dass das was davor oder danach passiert, genau das ist, was in der betrachteten Periode los ist, sich also der Betrachtungszeitraum periodisch wiederholt.
Dann kann ich ein Rechteck nachbilden, jedoch werden die Frequenzanteile der Sinusschwingungen höher, je besser ich die Unstetigkeitsstellen nachbilden soll. Will ich die ideale Unstetigkeit, brauche ich unendlich hohe Frequenzanteile und somit für eine unstetige Funktion unendlich viele 'Obertöne'. Diese Obertöne liegen bei x=(2n+1)*omega mit n element Z. Das Spektrum ist also diskret, es ist ein Linienspektrum.

Will ich jetzt eine nichtperiodische Funktion nachbilden, also ein einzelnes Rechteck, dann habe ich es mit einem kontinuierlichen Spektrum zu tun. In dem Spektrum sind dann gemäß sin(x)/x unendlich viele Frequenzen vertreten, ich brauche also unendlich viele Oszillatoren nicht nur um die Unstetigkeit nachzubilden (Obertöne bis unendlich), sondern weil von dem Gleichanteil ab diese in der Frequenz unendlich nah beieinander liegen müssen.

Jetzt klarer?

Der Zusammenhang ist deshalb verwissend, weil hier eine unstetige Funktion ein verflucht schlechtes Beispiel ist.
Bei einer stetigen Funktion:
periodisch in der Zeit: endliche Anzahl Sinusschwingungen, bei f=n*1/t (n element z) mit dem Abstand delta-f = 1/t in der Frequenz
nichtperiodisch in der Zeit: unendliche Anzahl Sinusschwingungen mit delta-f -> 0
ansonsten:
stetig in der Zeit: Anteile bei sehr hohen Frequenzen gehen in der Amplitude gegen 0
unstetig in der Zeit: f geht gegen unendlich, somit nicht mehr endliche Anzahl, egal ob periodisch oder nicht

 

[ThomasA1000]

Fourier klappt für periodische stetige Signale

Nichts anderes habe ich geschrieben. Aufgrund der Annäherung habe ich auf die Stetigkeit verzichtet. Will mich aber nicht daran aufhängen. Auf das Problem mit der Periodizität habe ich von Anfang an hingewiesen.
Wer allerdings unendlich viele Sinusgeneratoren in der Praxis betreiben will sollte auch mit einem unendlich frühen Starttermin keine Probleme haben.

Obige Funktion habe ich gewählt weil die Lösung eine einfache ist

f(x)=4/(Pi*n)*sin(nx) für gerade n
natürlich die Summe über n=2 bis unendlich

Was in den Intervallen -unendlich bis -Pi und Pi bis unendlich passiert, darüber decken wir den Mantel des Schweigens, aber das interessiert und nicht uns geht es um die 2! Rechtecke im Intervall

 

[.Jens]

So akademisch-theoretisch das hier auch immer ist: Es geht (theoretisch ).

Wenn ich mal davon ausgehe, dass wir uns mit (nahezu) unendlich vielen Oszillatoren das gewünschte Rechteck gebastelt haben. Und zwar so gut, wie es die nachfolgenden Analog-Komponenten sprich Verstärker, Lautsprecher etc. wiedergeben können (die haben ja auch alle einen endlichen Frequenzgang, also reichen auch endlich viele Oszillatoren).
Dann kann ich aus dem periodischen Gesamtsignal durch entsprechendes Stummschalten der Summe natürlich ein einzelnes Rechteck ausschneiden. Wenn das System aber nun linear ist (das sollte es sein, um Fourier nutzen zu können), dann ist es egal, ob ich die Summe stummschalte oder die einzelnen Komponenten:

a * (b + c + ...) = a * b + a * c + a* ...

Wobei die Vorredner natürlich recht haben: wenn ich mit periodischen Funktionen eine nicht-periodische darstellen möchte, dann muss ich unendlich früh anfangen und unendlich spät aufhören. Der Trick hier ist ja: Die Synthesefunktionen sind nicht periodisch

Das macht man sich in der Praxis übrigens längst zunutze: in der Signalanalyse benutzt man ständig irgendwelche "Fensterfunktionen", um die (Pseudo-)Periodizität bei der Analyse von Ausschnitten aus Zeitreihen mittels FFT zu unterdrücken. http://de.wikipedia.org/wiki/Fensterfunktion

Im übrigen kann man sowas am Rechner leicht ausprobieren - mit LabVIEW oder auch jeder anderen Programmiersprache sind nämlich "unendlich" viele (im Sinne von sehr viele, hinreichend viele, s.o.) Oszillatoren gar kein Problem, ebensowenig wie das synchrone Ein- und Ausschalten...

Jens

 

[Carl]

Letztendlich kann man es auch so formulieren: Die Natur hat ein fable für stetige Funktionen...
Das gilt eben nicht nur für x(t), sondern auch für x(f), also (reale) Frequenzspektren sind auch stetig.
Denn ein idealer Sinus von -unendlich bis unendlich hat einen Dirac im Spektrum, aber eben nur der. Alles andere verbreitert das Spektrum und es wird: stetig...
Und wie stellt man sich ein stetiges Frequenzspektrum als überlagerte Sinusschwingungen vor, auch wenn diese noch so nah beieinander liegen? Genau, als unendliche Anzahl...
Insofern ist alles, was auf einer endlichen Anzahl basiert, theoretisch nur eine Näherung, außer man hat den Urknall gepachtet... Aber praktisch passt es meist doch recht gut, weil Audiofrequenzen doch recht kurze Schwingungen haben vergleichen mit anderen Zeiträumen!