Multiplikationsfaktor beim Quintensprung über c am Quintenzirkel

[Sputnik83]

Hallo Allerseits,
zunächst mal eine kleine Entschuldigung, dass ich hier mit dem ersten Post direkt ein Anliegen habe... Leider muss ich euch mitteilen von Musik nicht viel Ahnung zu haben.

Zur Erläuterung:
Ich studiere Grundschullehramt ua. auf Mathematik. Für mein Matheseminar muss ich jetzt (und ich möchte betonen, mir das Thema auf Grund oben genannter Einschränkung nicht selbst gewählt zu haben) eine Hausarbeit über Mathematik und Musik schreiben. Schwerpunktmäßig beziehe ich mich hierbei auf die Konstruktion der pythagoräischen Stimmung (also auf die "Geburt" des westlich geprägten Notensystems falls man das so sagen darf...)
Mitlerweile bin ich sogar soweit, dass ich das Thema spannend finde...
Im speziellen Fall beschäftige ich mich mit der Konstruktion der hepatonischen Tonleiter (also c-d-e-f-g-a-h-c´) über reine Quintensprünge am Quintenzirkel.
In einem meiner Grundlagentexte wird gesagt...
Das im Uhrzeigersinn beginnend bei c(1) Quintensprünge vorgenommen werden und bei jedem Quintensprung die zuletzt erreichte Zahl mit dem Faktor 3/2 multipliziert wird. Soweit ist mir das klar! Weiter heißt es, dass wenn bei einem Quintensprung die zu c gehörige Markierung übersprungen wird,der Faktor 3/4 lautet und nicht 3/2.

Klar ist mir, dass es so sein muss, sonst würden ja die falschen Werte herauskommen...
Nicht klar ist mir, wieso genau sich der Faktor verändert.

Könnt ihr mir das erklären?

Vielen Lieben Dank Sputti

 

[cwtoons]

http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung
Da steht es genau wie 's geht.

Das Ganze ist wegen der mathematischen Komponente für viele nicht verständlich, auch nicht für viele Musiker. Als Mathematiker tut man sich da leichter. Schließlich sind Töne ein Naturphänomen, also reine Physik.

CW

 

[Sputnik83]

Mir ist schon klar, dass es sich um ein mathematisches/ physikalisches Problem handelt, nur bezweifele ich, dass sich die Mathematiker besser mit dm Quintenzirkel auskennen, als Musiker mit der Bruchrechnung

Ich dachte halt, dass jemand der sich schon eingehend mit dem Quintenzirkel (vielleicht sogar mit der Geschichte unseres Tonsystems beschäftigt hat) vielleicht schon mal vor einem ähnlichen Problem stand. Was mache denn die Musiktheoretiker wenn sie einen Quintenzirkel konstruieren sollen? Ist die Anforderung so unüblich?

Klar ist ja, dass ich bei der ersten Quinte am 7er Quintenzirkel vom c auf g lande und ein Intervall mit dem Schwingungsverhältnis von 3/2 gespielt habe. Schon bei der nächsten Drehung (von g zu d) muss ich die c-Marke überspringen und mit 4/3 multiplizieren: Also 3/2*3/4 = 9/8. Ich habe also den Ganztonschritt von c auf d (9/8) berechnet.

Das dass so ist, ist ja fraglos, aber macht sich da niemand Gedanken drüber warum sich der Faktor ändert?



Edit: Achja, leider kann ich nicht finden wo da genau steht wie es geht. Vielleicht habe ich es überlesen, aber ich find nix was den Faktor wechsel erklärt.

 

[turko]

Das dass so ist, ist ja fraglos, aber macht sich da niemand Gedanken drüber warum sich der Faktor ändert?

Ich bin absolut kein Spezialist in Stimmungsangelegenheiten. Falls ich also Blödsinn von mir gebe, bitte entschuldigen und löschen. Aber EIN Verdacht kommt mir beim Lesen Deines "Problems" doch:

Hast Du möglicherweise für Dich das pythagoräische Komma wieder- bzw. neu entdeckt ... ?

Thomas

 

[MaBa]

Das ist eigentlich ganz einfach. Die Oktave wird als gleicher Ton gehört. Die Töne haben auch den gleichen Namen. Das Schwingungsverhältnis ist hier 2:1.

Wenn dein Ton über eine Oktave (über c') liegt, brauchst du nur die Frequenz zu halbieren. Das heißt, du nimmst den eine Oktave tiefer liegenden Ton, der zwischen c und c' liegt. Eine Quinte hoch und dann eine Oktave runter entspricht 3/2 * 1/2 = 3/4.

 

[Sputnik83]

Ich bin absolut kein Spezialist in Stimmungsangelegenheiten. Falls ich also Blödsinn von mir gebe, bitte entschuldigen und löschen. Aber EIN Verdacht kommt mir beim Lesen Deines "Problems" doch:

Hast Du möglicherweise für Dich das pythagoräische Komma wieder- bzw. neu entdeckt ... ?

Thomas

Nein,nein, schön wärs
Das Pythagoräische Komma tritt ja erst auf, beim Versuch den Quintenzirkel zu schließen. Also bei der siebten Quintendrehung. Der Multiplikationsfaktor ändert sich aber schon bei der zweiten Quinte, nämlich beim überqueren des Ausgangspunkts (Grundtons).

Der Quintenzirkel errechnet sich ja wie folgt:

c=1
g=1*3/2=3/2
d=3/2*4/3(?)=9/8 (Ergebnis ist logisch weil ganzton neben c)
a=9/8*3/2=27/16
e=27/16*4/3(?)=81/64
h=81/64*3/2=243/128
und
f entgegen dem Uhrzeigersinn von c daher Multiplikation von der Kennzahl von c (1) mit dem Kehrwert von 3/2 und da der Sprung von c rückwärts als Überquerung des Ausgangspunkts zu werten ist muss das Ergebnis noch mit dem Faktor 2 versehen werden (????)

also:
f=1*2/3*2=4/3 (Ergebnis ist logisch, weil Quarte von c)


http://www.math.uni-magdeburg.de/reports/2002/musik.pdf Hier auch genau nachzulesen.--- Beiträge wurden zusammengefasst ---

Das ist eigentlich ganz einfach. Die Oktave wird als gleicher Ton gehört. Die Töne haben auch den gleichen Namen. Das Schwingungsverhältnis ist hier 2:1.

Wenn dein Ton über eine Oktave (über c') liegt, brauchst du nur die Frequenz zu halbieren. Das heißt, du nimmst den eine Oktave tiefer liegenden Ton, der zwischen c und c' liegt. Eine Quinte hoch und dann eine Oktave runter entspricht 3/2 * 1/2 = 3/4.

wow wow wow!
Ich glaub du hasts!
Kannst du das mir mit ein paar worten mehr für dummies erklären?!? BITTTTE
Danke!

 

[MaBa]

Was fehlt noch?

1. Quinte c - g
2. Quinte g - d' liegt über c', also gehen wir eine Oktave zurück. g - d
3. Quinte d - a ist ok.
4. Quinte a - e' liegt wieder über c', also wieder eine Oktave zurück.
u.s.w.

Das gleiche in Zahlen:

1. Quinte 3/2
2. Quinte 3/2 * 3/2 = 9/4 ist gößer als 2 (8/4), also Oktave runter: 3/2 * (3/2 * 1/2) = 3/2 * 3/4 = 9/8
3. Quinte 9/8 * 3/2 = 27/16
4. Quinte 27/16 * 3/2 = 81/32 ist gößer als 2 (64/32), also Oktave runter 27/16 * (3/2 * 1/2) = 27/16 * 3/4 = 81/64
u.s.w.

Auf der Pianotastatur kann man sehen, daß man so immer abwechselnd eine Quinte hoch und eine Quarte runter springt. So bleibt man immer innerhalb der Oktave. Aller zwei Sprünge gelangt man ein Ganzton nach oben.

Wenn du die C-Dur Tonleiter erhalten willst, kannst du auch von f anfangen. f liegt ja noch eine Quinte vor c.

 

[Vintager]

http://de.wikipedia.org/wiki/Quinte
Eigentlich ist es doch ganz einfach.

Die reine Quinte hat ein Frequenzverhältnis von 3:2 (701.955 Cent). So geht aber der Quintenzirkel nicht auf und es entstünde
zwischen F#(Gb) und C#(Db) eine sogenannte phytagoreische Wolfsquinte (678,459 Cent), die natürlich nicht wirklich schön klingt.

Bei gleichstufiger Stimmung geht der Quintenzirkel glatt auf. (gleichstufige Quinte : 700 Cent), d.h. es gibt keine Wolfsquinte mehr.

Die gleichstufige Quinte weicht knapp 2 Cent von der reinen Quinte ab, was klanglich durchaus noch tolerierbar ist.
Die Frequenz der gleichstufigen Quinte wird jeweils so berechnet:

 

[RMACD]

Reihe die Töne mit 1 2 3 usw 7 8 9 10 usw und beginne mit Ton c. Die Quintsprünge werden mit "plus 4" beschrieben, also c No 1 nach g No 5.
Ton d wird als Ton 9 erreicht. Alle Zahlen werden nun modulo 7 genommen, für Ton 9 ergibt sich 2 = 9 mod 7 und 2 steht für Ton d.

Also wird nicht "mit unterschiedlichen Faktoren" gearbeitet. Der Quintenzirkel führt nur bis Ton h. Die Halbtöne führen aus dem heptatonischen Modell schon hinaus. Der nächste Ton, das fis, kann mit Bruchzahlen nicht mehr dargestellt werden, da er in einem irrationalen Verhältnis zum Ausgangston (Ton c) steht.