12 Töne???

[ratatoeskr]

Hallo, ich bin nicht so der Theoretiker wenns um Musik geht, aber mir stellte sich vor längerer Zeit die Frage, warum es eigentlich nur 12 Töne gibt.. hat das jemand festgelegt? Ist das eine natürliche Ordnung?

bei einer Gitarre hat man Bundstäbe, bei einem Piano Tasten, aber was ist denn zum Beispiel bei der Stimme? wenn ich ein C singe und hochziehe auf ein Cis, dann liegen da doch (theoretisch!) unendlich viele Töne dazwischen oder? Zwischen 1 und 1,5 liegen ja auch unendlich viele Zahlen..

 

[x-Riff]

Hallo, ich bin nicht so der Theoretiker wenns um Musik geht, aber mir stellte sich vor längerer Zeit die Frage, warum es eigentlich nur 12 Töne gibt.. hat das jemand festgelegt? Ist das eine natürliche Ordnung?

bei einer Gitarre hat man Bundstäbe, bei einem Piano Tasten, aber was ist denn zum Beispiel bei der Stimme? wenn ich ein C singe und hochziehe auf ein Cis, dann liegen da doch (theoretisch!) unendlich viele Töne dazwischen oder? Zwischen 1 und 1,5 liegen ja auch unendlich viele Zahlen..

Ich bin auch nicht der Theoretiker, aber ich habe mir folgendes zusammengeklaubt:

1. Du hast Recht mit dem Beispiel der Zahlen zwischen 1 und 1,5.
2. Wie mir Geiger sagen (die eines der Saiteninstrumente ohne Bünde spielen), gibt es tatsächlich auf der Geige einen (hörbaren) Unterschied zwischen Fis und Gb. Auf einer Gitarre, die Bünde hat, ist dieser Unterschied nicht realisierbar.
3. So viel ich weiß, arbeiten andere Musik-Kulturen (z.B. China) mit Viertel-Tönen, also einer "feineren" Abstufung als die Halbton-Unterschiede, die im Abendland geprägt wurde.
4. Soviel ich weiß, hat Bach mit seinem wohltemperierten Klavier einen nicht unerheblichen Anteil an der im Abendland verbreiteten Systematik der Halbtöne.
5. Letztlich ist diese Unterscheidung wie alle Systematiken eine Reduzierung der Komplexität. Diese dient der leichteren Handhabung mittels einer konsistenten Ordnung. Heißt: wenn abendländische Musik tatsächlich im Wesentlichen mit einer Halb-Ton-Ordnung auskommt, vereinfacht es die Sache, mit einer solchen Ordnung/Systematik zu arbeiten. Insofern ist diese 12-Ton-Einteilung einer Oktave ein Hilfsmittel und weder Gottgeben noch quasi naturbedingt. Natürlich kannst Du auf einem bundlosen Saiteninstrument und noch mehr bei einem Synthy alle möglichen Zwischentöne reproduzieren. Bei der Gitarre kannst Du dies ja auch mit einem Bending produzieren. Dafür hat man dann aber lieber bei Bedarf Sonderzeichen eingeführt als eine andere Ordnung einzuführen.

Dieses Bild habe ich mir als Nicht-Theoretiker im Laufe der Zeit gemacht.

x-Riff

 

[ratatoeskr]

aha, na das sorgte doch schonmal für einige Erhellung bei mir! Danke!

 

[Mico]

Die Zwölf ist in vielen Kulturen schon immer eine mystische Zahl gewesen (12 Monate, 12 Stunden pro Tag und Nacht, 12 Tierkreiszeichen, 12 Apostel, 12 israelitische Stämme usw.). Das hat sich auch auf unser Tonsystem niedergeschlagen. Ähnliches Zahlenmystisches gilt für die sieben Töne der antiken, mittelalterlichen und heutigen Dur-/Mollleitern. Aus akustischer oder mathematischer Sicht gibt es keine überzeugenden Gründe für die Wahl der Tonanzahl.

Wie x-Riff schon geschrieben hat, gibt es im asiatischen Raum Musik, die auf kleineren Intervallen (1/4, 1/6) beruht.
Es stimmt allerdings nicht, dass J.S. Bach oder das WTK unser Tonsystem beeinflusst haben, die chromatische Leiter gab es schon deutlich früher. Das WTK ist vielmehr eine Huldigung der Werckmeister-Stimmungen, die im Gegensatz zu den vorher üblichen Stimmungen das Modulieren in andere Tonarten ermöglichten, ohne Ohrenkrebs zu bekommen (Stimmung und Tonsystem ist nicht dasselbe).

 

[HëllRÆZØR]

Legen wir unsere 12 Halbtöne mal in Quinten übereinander:
Ges Des As Es B F C G D A E H Fis
Wenn wir reine Quinten (3:2 = 1,5) verwenden, ist das Fis etwas größer als das Ges,
nämlich um ein pythagoräisches Komma = 23,46 Cent, also 1/4 bis 1/5 unseres Halbtons.
(Ein Halbton in unserer gleichstufigen Stimmung entspricht 100 Cent)

In unserer Stimmung wurde die reine Quinte ein wenig verkleinert, so dass das pythagoräische Komma komplett wegfällt,
so dass in unserer Stimmung Fis und Ges gleich groß sind.
Dadurch ergibt sich auch ein geschlossener Quintenzirkel aus 12 Tönen.

Die Quinte beträgt dann übrigens 2^(7/12) (2 hoch 7/12, oder 12te Wurzel aus 2 hoch 7) = 1.498,
womit 12 dieser Quinten genau 7 Oktaven entsprechen:
12 Quinten = ( 2^(7(/12) )^12 = 2^7 = 7 Oktaven.

Zusammengefasst ergeben sich unsere 12 Halbtöne also dadurch,
dass wir die reine Quinte in unserer gleichstufigen Stimmung so "zurechtgebogen" haben,
dass 12 Quinten GENAU 7 Oktaven ergeben, statt 7 Oktaven und ein pythagoräisches Komma.

Edit:
@Mico: Doch, die 12 hat hier eine mathematische Bedeutung, da 12 Quinten eine Näherung für 7 Oktaven ist.
Auch die 7 Töne der Dur-/Moll-Tonleiter haben eine mathematische Bedeutung,
da man, wenn man in der reinen Stimmung abwechselnd große und kleine Terzen übereinanderlegt,
bei sieben Terzen (wären 8 Töne) zwei Töne erhalten würde, die sich nur um ein syntonisches Komma unterscheiden,
das etwa 21.51 Cent entspricht.

 

[x-Riff]

Es stimmt allerdings nicht, dass J.S. Bach oder das WTK unser Tonsystem beeinflusst haben, die chromatische Leiter gab es schon deutlich früher. Das WTK ist vielmehr eine Huldigung der Werckmeister-Stimmungen, die im Gegensatz zu den vorher üblichen Stimmungen das Modulieren in andere Tonarten ermöglichten, ohne Ohrenkrebs zu bekommen (Stimmung und Tonsystem ist nicht dasselbe).

Danke. Stimmt es denn dann, dass Bach mit seinem wohltemperierten Klavier den Durchbruch dieser Werckmeister-Stimmung zumindest stark befördert hat?
Geht mir darum, mich von meinen eigenen Halbwahrheiten im Laufe der Zeit zu verabschieden.

x-Riff

 

[x-Riff]

Zusammengefasst ergeben sich unsere 12 Halbtöne also dadurch,
dass wir die reine Quinte in unserer gleichstufigen Stimmung so "zurechtgebogen" haben,
dass 12 Quinten GENAU 7 Oktaven ergeben, statt 7 Oktaven und ein pythagoräisches Komma.

Darf ich mal ein anderes Bild verwenden, um zu schauen, ob ich es verstanden habe?
Wie man weiß, ist unsere Zeitrechnung und die Einteilung in Stunden insofern nicht konsistent als dass man eben immer mal ein Schaltjahr einschieben muß, damit es wieder stimmt.
Hat man also im übertragenen Sinne sozusagen die Stunde statt auf 60 Sek auf sage 60,0157 (nur ein Beispiel) "gedehnt", um nicht ein Schaltjahr einschieben zu müssen?

x-Riff

 

[Mico]

@Mico: Doch, die 12 hat hier eine mathematische Bedeutung, da 12 Quinten eine Näherung für 7 Oktaven ist.
Auch die 7 Töne der Dur-/Moll-Tonleiter haben eine mathematische Bedeutung,
da man, wenn man in der reinen Stimmung abwechselnd große und kleine Terzen übereinanderlegt,
bei sieben Terzen (wären 8 Töne) zwei Töne erhalten würde, die sich nur um ein syntonisches Komma unterscheiden,
das etwa 21.51 Cent entspricht.

Die Bedeutung der Mathematik sieht die aktuelle Musikwissenschaft in diesem Punkt aber etwas anders. Wie du ja selbst geschrieben hast, führt das Schichten von einfachen Intervallen gerade nicht zum Ausgangspunkt (modulo Oktave) zurück. Dass die Abweichungen klein sind, liegt in der Natur der Sache. Trotzdem bereiten genau diese Abweichungen die großen Probleme bei zahlreichen Stimmungsvarianten. Da sind selbst 20 Cent deutlich hörbar. Ein chinesischer Kollege von mir kann aufgrund seiner Musikausbildung diese feinen Unterschiede exakt benennen und Tonleitern in diesen Abstufungen singen. Für ihn hatben die chromatischen Leitern viel zu große Lücken.

Natürlich kann man Beziehungen zwischen den Intervallen und der Anzahl unserer Töne herstellen, dennoch ist die Wahl des Tonsystems nicht Gott gegeben. Bei unserem war seit der Antike eine ganze Portion Zahlenmystik daran beteiligt und denn die Tonleitern gab es schon bevor man die mathematischen Zusammenhänge erkannt hat...

 

[HëllRÆZØR]

@Mico: Ich sehe das ganz genauso, dass unsere gleichstufige Stimmung nicht "perfekt" ist,
und ca. 22 Cent ist definitiv ein hörbarer Unterschied.
Das ist auch der Grund, warum ich die Näherung 53 Quinten = 31 Oktaven + 3,62 Cent bevorzuge,
da hört man nämlich wirklich keinen Unterschied mehr zur reinen oder pythagoräischen Stimmung.

Ich wollte damit nur sagen, dass die 12 und die 7 nicht komplett willkürlich gewählt sind,
so wie die Einteilung in 7 Tage / Woche,
sondern dass es mathematisch / physikalische Gründe dafür gab.

 

[Mico]

Stimmt es denn dann, dass Bach mit seinem wohltemperierten Klavier den Durchbruch dieser Werckmeister-Stimmung zumindest stark befördert hat?

Bach hat sicher dazu beigetragen, die Entwicklung der heutigen gleichstufig temperierten Stimmung voranzutreiben. Zur Zeit Bachs gab es verschiedene Leute, die sich mit unterschiedlichen Stimmungen auseinandergesetzt haben, um u.a. das Problem der Wolfsquinten zu lösen. Dazu gehörte auch der Bach-Schüler J. Ph. Kirnberger.
Es gab zu der Zeit nicht "die" temperierte Stimmung, sondern eine ganze Palette unterschiedlicher Varianten (z.B. Werckmeister I-III und Kirnberger I-III). Aus Bachs und Kirnbergers Notizen wissen wir, dass Bach nicht unsere heutige sondern verschiedene Werckmeister-Stimmungen mit eigenen "Optimierungen" verwendet hat.

 

[HëllRÆZØR]

...ach so, was mich mal interessieren würde:
Ich analysiere gerade das Präludium in a-Moll aus dem Orgelwerk BWV543 von J. S. Bach,
und da tauchen ab und zu die 12 und die 7 auf. (12 chromatische und 7 diatonische Töne, nehme ich an).

Da das Präludium genau 53 Takte* lang ist habe ich mich gefragt, ob es eine Anspielung auf bereits erwähnte Annäherung sein könnte.
(53 Quinten sind etwa 31 Oktaven)

* Die Noten habe ich von hier:
http://www.tobis-notenarchiv.de/bach/09-Orgelwerke/02-Praeludien_Fugen/index.htm
Datei: http://www.tobis-notenarchiv.de/bach/09-Orgelwerke/02-Praeludien_Fugen/BWV_0543/BWV_0543_1.cap
Zwischen dem 44. und 48. Takt hat man sich allerdings verzählt, ab dem 48. muss man immer einen Takt drauf rechnen.

 

[x-Riff]

Mico: Danke für die Erläuterungen.

x-Riff

 

[Mico]

Ich wollte damit nur sagen, dass die 12 und die 7 nicht komplett willkürlich gewählt sind,
so wie die Einteilung in 7 Tage / Woche,
sondern dass es mathematisch / physikalische Gründe dafür gab.

Das Erstaunliche ist nur, dass es das Tonsystem schon gab, bevor man es mathematisch-physikalisch analysiert hat.

Bei der Musik verhält es sich wohl so wie auch bei den Zeiteinteilungen: ein inneres menschliches Gespür scheint die Wahl der Zahlen/Einteilungen zu beeinflussen. In der Vergangenheit gab es einige Versuche, die Zahl der Wochentage zu reduzieren bzw. zu erhöhen, z.B. um die Leute länger arbeiten zu lassen. Spätestens nach ein paar Jahren musste wieder auf die 7-Tage-Woche umgestellt werden, weil die innere Uhr oder was auch immer nicht mitgespielt hat.
Dann gibt's noch "Millers Magische Sieben". Der Durchschnittsmensch kann maximal sieben gleichartige Dinge auf einen Blick erfassen. Also wenn irgendwo ungeordnet 7 Münzen liegen, können die meisten Menschen sofort sagen: "das sind sieben". Bei 8 geht's dann schon in die Hose.
Auch das Ultrakurzzeitgedächtnis kann maximal sieben Informationseinheiten speichern.
Das alles hat wahrscheinlich Einfluss darauf, dass wir eine besondere Beziehung zur 7 haben.

 

[HëllRÆZØR]

@x-Riff: Ja genau, das mit dem 365 Tagen gleich 1 Jahr ist auch nur eine Annäherung,
man hat es durch die Schaltjahre so zurechtgebogen,
dass ein Jahr immer aus einer ganzen Anzahl an Tagen besteht.
Allerdings finden die Schaltjahre ja nicht genau alle 4 Jahre statt,
da gibt es dann immer Jahrhundert- oder Jahrtausend-Ausnahmen oder sowas in der Art,
ich kann dir aber nicht genau sagen wie das funktioniert.

 

[Böhmorgler]

...doppelt...

 

[Böhmorgler]

Ich meine mal gelesen zu haben, daß in der byzantinischen Kirchenmusik die Töne nicht in 12 Halbtöne, sondern in 68 (oder waren es 65?) Töne unterteilt werden. Deswegen haben die auch in der klassischen byz. Musik kein Notensystem, da das nicht zu notieren ist. Es gibt nur bestimmte Zeichen für den Chor. Ein westlicher Musiker - so habe ich mir sagen lassen - kann das System gar nicht nachvollziehen. Laut Aussage eines mit mir bekannten westlichen Liturgikers, gibt es auch kein System, mit dem man die Notation in unsere übertragen kann.

Ein Beispiel für die Notation gibt es hier:
http://sgpm.goarch.org/Extras/MB-AkathistMusic.pdf

@x-Riff: Ja genau, das mit dem 365 Tagen gleich 1 Jahr ist auch nur eine Annäherung,
man hat es durch die Schaltjahre so zurechtgebogen,
dass ein Jahr immer aus einer ganzen Anzahl an Tagen besteht.
Allerdings finden die Schaltjahre ja nicht genau alle 4 Jahre statt,
da gibt es dann immer Jahrhundert- oder Jahrtausend-Ausnahmen oder sowas in der Art,
ich kann dir aber nicht genau sagen wie das funktioniert.

Ganz einfach:

Alle durch 4 teilbaren Jahre sind Schaltjahre (2004, 2008, 2012...)
Alle druch 400 teilbaren Jahre sind KEINE Schaltjahre (2000, 2400, 2800...)

 

[Mico]

Da das Präludium genau 53 Takte* lang ist habe ich mich gefragt, ob es eine Anspielung auf bereits erwähnte Annäherung sein könnte.
(53 Quinten sind etwa 31 Oktaven)

Bei Bach kann man im Bereich Zahlen prinzipiell nichts ausschließen. Er hat sehr viel mit Zahlensymbolik und entsprechenden Motiven gearbeitet, allerdings aus tiefer religiöser Überzeugung. Er hat die Musik als göttliches Geschenk und "Sprache Gottes" betrachtet.
Ich glaube deshalb nicht, dass er Stücke und schon gar keine Orgelwerke, die ja nur in der Kirche gespielt werden konnten, an "profanen", rein musik-mathematischen Zusammenhängen ausgerichtet hat. Seine Zahlensymbolik ist viel philosophischerer Natur. Aber wie gesagt, ausschließen kann man es wohl nicht.

 

[HëllRÆZØR]

Das Erstaunliche ist nur, dass es das Tonsystem schon gab, bevor man es mathematisch-physikalisch analysiert hat.

Innerhalb der pythagoräischen Stimmung haben sich vor allem zwei Tonleitersysteme entwickelt,
die 5-tönige Pentatonik und die 7-tönige Heptatonik (Kirchentonleitern),
aber auch das ist meiner Meinung nach kein Zufall.

Da in beiden Systemen die Quinten übereinandergelegt werden, hängt von der Anzahl der Töne das Modulationsintervall ab,
also das Intervall um das man einen Ton verschieben muss,
um in die Quinttonart zu wechseln.

Wenn wir z.B. die Quintreihe F C G D A E H haben, dann können wir in die Quinttonart wechseln,
indem wir vorne eine Quinte wegnehmen (das F) und sie hinten dransetzen (das Fis).
Der Unterschied beträgt 7 Quinten = 1 übermäßige Sekunde (1 Halbton + 1 pyth. Komma).

Bei der Pentatonik wäre das entsprechend von C G D A E aus (ich bleib mal bei der Benennung)
5 Quinten = 1 große Septe* (-1 Halbton), wir erhalten G D A E H*.

*eigentlich müsste man hier andere Intervallbezeichnungen verwenden, und das H ist ja hier eigentlich eher ein Ces, da von C abgeleitet)

Bei allen anderen Tonarten ist das Modulationsintervall größer, bei 6 Tönen z. B. hat man einen Tritonus.
Die Folge ist, dass man in anderen Tonarten mit mehr als 3 Tönen nicht vernünftig mit Begriffen wie "kleine Sekunde" arbeiten kann,
da eine "große Sekunde" dann schon größer als eine "Quinte" sein könnte.
Beispiel:
Angenommen, wir haben die 6 Töne C G D A E H.
Wenn wir die Tonleiter "a h c d e g a" betrachten, könnten wir das h als "kleine Sekunde" bezeichnen.
Verschieben wir das h um das Modulationsintervall (Tritonus), erhalten wir "a c d e his g a",
wobei unser "his" (= f) hier ein um einen Tritonus verschobenes h sein soll und die "große Sekunde" zum a bildet,
man hat also ein ziehmliches Chaos, wenn man das ganze systematisieren will.

Wie gesagt, ich glaube nicht daran, dass es "richtige" oder "falsche" Tonleitersysteme gibt,
aber wegen der nahen Beziehung zwischen Musik und Naturwissenschaft kann man reine Willkür doch meist ausschließen.

 

[Mico]

Wie gesagt, ich glaube nicht daran, dass es "richtige" oder "falsche" Tonleitersysteme gibt,
aber wegen der nahen Beziehung zwischen Musik und Naturwissenschaft kann man reine Willkür doch meist ausschließen.

Ja, du hast natürlich Recht, diese und noch viel abgedrehtere Zusammenhänge (kennst Du das Buch "Topos of Music" von G. Mazzola?) kann man auf Grundlage der Quintstimmungen herstellen. Aufgrund der Obertonreihe ist die Quinte auch ein herausragendes Intervall -- keine Frage.
Wahrscheinlich habe ich mich nach einem Stresstag mit leerem Kopf einfach undeutlich ausgedrückt. Was ich meine ist, dass sich trotz dieser so einleuchtenden Zusammenhänge parallel unterschiediche Tonsysteme, wie Viertelton-, Ganzton- und anderen Skalen entwickelt haben, die alle physikalisch und mathematisch beschrieben werden können.
Die ganztönigen Sechstonleitern, pentatonischen und heptatonischen Skalen gab es unabhängig und parallel zueinander in verschiedenen Regionen der Erde, ohne dass sie auseinander hervorgegangen wären.
Dass wir uns zunächst auf 7 und später auf 12 Töne beschränkt haben, obwohl man durch weitere "Quintiterationen" noch mehr neue Töne erzeugen könnte, ist ebenfalls reine Willkür. In einigen Untersuchungen wird nachgewiesen, dass die damals vorherrschende Zahlensymbolik erheblichen Einfluss auf die Festigung unseres heutigen Systems hatte.

Ok, wie auch immer -- jetzt muss ich erst mal ins Bett.
Eigentlich wollte ich nur sagen, dass man heute gerne zahlreiche Einflüsse auf die Tonsysteme zu alleinigen Gunsten der Mathematik verdrängt.

 

[HëllRÆZØR]

Das mit der Zahlensymbolik stimmt natürlich auch.
Die reine Stimmung wird ja dadurch gebildet, dass man abwechselnd große und kleine Terzen übereinanderlegt,
die im Gegensatz zu denen der pyth. Stimmung auf der Obertonreihe basieren:
"f a c e g h d" (reine Dur-Stimmung) und "d* f a c e g h" (reine Moll-Stimmung)

* Dieses d ist ein syntonisches Komma kleiner als das der reinen Dur-Stimmung.

Die reine Dur-Stimmung ist somit aus drei Dur-Dreiklängen zusammengesetzt (F-Dur, C-Dur und G-Dur),
während die reine Moll-Stimmung aus drei Moll-Dreiklängen besteht (d-Moll, a-Moll und e-Moll).

Wir haben also reinere Terzen (3. Ton) und Tonleitern, die aus 3 3-Klängen zusammengesetzt sind.
Diese Tatsache darf man natürlich auch nicht vernachlässigen, da die 3 im Christentum für die Dreifaltigkeit steht.