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richy
HCA Soundprogrammierung
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Hi
Die Klangerzeugung von Synthesizern wird heute nicht mehr zusammengeloetet, sondern ueber Softwarealgorithmen berechnet. Besonders deutlich wird dies bei den ganzen VST Plugins. Hier wurden auch schon nichtlineare Methoden neuronaler Netzwerke verwendet wie beim Hartman Neuron VS.
http://www.hartmann-music.com/home/us/news/
Vielleicht hat der eine oder andere Forenbenutzer diesbezueglich eigene Ideen, die man in diesem Thread vorstellen und diskutieren koennte. Leef hat z.B. einen Midiprozessor programmiert der recht interessante Moeglichkeiten bietet. Quellen zu Programmiertools, z.b Wandlung von Zahlenreihen in Audiofiles waeren willkommene Hilfsmittel fuer einen Thread zu Audio Software Experimenten.
In dem Bereich bin ich momentan leider selber nur schlecht ausgestattet. Unter Dos war dies einfacher.
Im folgenden moechte ich als Beispiel eine Programmidee, ein Klangerzeugungskonzept, vorstellen, das mir vielversprechend erscheint.
Ausgangspunt ist eine "einfache" nichtlineare Differenzengleichung. Die logistische Gleichung. Ein spezieller Schnitt durch die Mandelbrotmenge :
y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k))
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Diese iterative Abbildung ist sehr einfach zu implementieren und aus der Chaostheorie recht bekannt. Inzwischen auch Schulstoff. Fuer Anfangswerte y0 im Intervall y0=[0..1] erhaelt man in jedem Iterationsschritt eine Funktion im selben Intervall [0..1]. Der Parameter r=[0..4] steuert dabei das Verhalten der Funktion wie es z.B. im WIKI Link beschrieben wird.
Das Feigenbaumdiagramm zeigt ueber die Attraktoren das Verhalten des Steuerparameters r.
Allerdings klingt die Funktion y[k] als Audiosignal nicht sonderlich interessant. Es gibt auch Ansaetze von meist avangardistischen Kuenstlern, die die Iterationswerte als Mididaten verwenden.
Aber auch hier ist im Gegensatz zur visuell beeindruckenen Mandelbrotmenge das Ergebnis eher wenig spektakulaer. Man koennte auch sagen "duerftig"
http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/~nchrist/MAMUSI/5mathematik_musikalisch_in_.htm
Naja, es gibt eine Vielzahl solcher "Versuche".
Ist die logistische Gleichung so unmusikalisch ? Vielleicht verwendet man nur die falschen Zahlenwerte ?
Der 2 er Zyklus stellt einen Rechteckgenerator da und der 4 er Zyklus die Ueberlagerung von Rechteckfunktionen.
Bei r annähernd 3,57, dem Feigenbaumpunkt beginnt das Chaos. Wie man auch im Klangbeispiel des Links hoert.
Dieses ist immer wieder von selbstaehnlichen Inseln der Ordnung unterbrochen. Z.B. bei r=1+Wurzel(8) dem sogenannten grossen Fenster der Ordnung. Fuer r=1+Wurzel(9)=4 erzeugt die Iteration dann scheinbar voelliges Chaos.
So ist die allemeine Beschreibung, Einschaetzung. Das ist aber nicht ganz zutreffend. Es ist zwar wenig bekannt, aber der Mathematiker Wolfram (Schoepfer von Mathematica) hat eine analytische Loesung der Gleichung fuer den Wert r=4 gefunden. Und die Loesung ist verblueffend "einfach" :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
Dazu darf man aber nicht die Iterationswerte y(n,y0) selbst fuer einen Startwert betrachten, so wie dies bei den Klangkuenstlern in der Regel ueblich ist, sondern man muss die Gleichung fuer alle Startwerte y0 zu einem festen Zeit, Iterationsschritt n betrachten. Man verwendet somit nicht die Iterationswerte sondern die verketteten Polynome, die sich aus einer iterativen Verkettung der Grundgleichung r*y*(1-y) ergeben.
Klingt kompliziert, aber es ist relativ einfach. Ich habe das mal versucht hier naeher darzustellen :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana6.htm
Beispiel verketteter Polynome :
In jedem Iterationsschritt wird ueber alle Anfangswerte solch ein Polynom erzeugt. Und die sehen nun doch schon mal recht wohlklingend, musikalisch aus.
Problematik :
Der Grad dieser Polynome steigt mit 2 hoch n. Dazu gleich mehr.
Fuer Wolframs Loesung fuer r=4, das angebliche Chaos zeigt sich schliesslich, dass das Polynom mit der einfachen Koordinatentransformation s=1-2*x einem frequenzmodulierten Sinus entspricht.
dessen Frequenz mit jedem Iterationsschritt n proportional zu 2 hoch n steigt.
Wuerde man sich in dieser Form die logistische Gleichung anhoeren erhielte man kein Chaos, sondern ein Sinus mit Vibrato. Da die analytische Loesung bekannt ist laesst sich auch die Frequenzmodulation, das Vibrato zu den Raendern hin ueber eine einfache Koordinatentransformation beseitigen. Dazu bildet man den Arkuscosinus und erhaelt eine reine Sinus b.z.w Kosinusschwingung.
Ein glatter Widerspruch zur ueblichen Auffassung, dass die logistische Gleichung fuer r=4 das Chaos repraesentiert.
Das verkettete Polynom stellt hier eine Sinusfunktion dar, die aufgrund der Frequenzmodulation fuer jeden Anfangswert falsch abgestastet wird und so zu einer chaotischen Iterationsfolge fuehrt.
Fuehrt man die aus der Loesung fuer r=4 bekannte Koordinatentransformation fuer die Funktion ueber die Anfangswerte durch erhaelt man einen Sinusgenerator, der mit jedem Iterationsschritt seine Frequenz verdoppelt.
Und wenn man diese Koordinatentransformation arccos beibehaelt und r variiert erhaelt man sicherlich schon einen kleinen interessanten nichtlinearen Synthesizer. Allerdings habe ich damit bisher erst graphisch experimentiert. Ich koennte wetten dass man damit sehr interessante Klaenge erhaelt.
Auch fuer r=2 existiert eine analytische Losung der logistischen Gleichung. Die entsprechende Koordinatentransformation zur Beseitigung der Frequenzmodulation besteht aus einer Logarithmierung statt der Bildung des Arkuskosinus. Damit erhaelt man einen Rechteckgenerator. Und unter Beibehaltung der Logaithmierung und Variation von r sicherlich weitere klanglich interessante Wellenformen.
Auch fuer r=1+Wurzel(5) existiert eine analytische Loesung ...
Nein, leider nicht ! Ich beschaeftige mich seit den 80 er Jahren mit dieser verflixten Gleichung.
Damals galt sie als voellig unloesbar. Nun existieren 3, davon 2 reelle analytische Loesungen. Wahscheinlich ist die Gleichung fuer andere Parameter tatsaechlich unloesbar. Wolfram gibt auf seiner Seite an, dass zumindesten bewiesen ist, dass keine weiteren Loesungen ueber die Bildung der Umkehrfunktion existieren. Schade denn es waere natuerlich interessant welche Wellenformen diese neben Sinus und Rechteck noch enthaelt.
Die logistische Gleichung enthaelt aber noch viel mehr. Vielleicht sogar alle Werke von Mozart ? Nee, natuerlich nicht, aber eventuell gewisse Prinzipien daraus. Dazu mehr im naechsten Beitrag.
Gruesse
Die Klangerzeugung von Synthesizern wird heute nicht mehr zusammengeloetet, sondern ueber Softwarealgorithmen berechnet. Besonders deutlich wird dies bei den ganzen VST Plugins. Hier wurden auch schon nichtlineare Methoden neuronaler Netzwerke verwendet wie beim Hartman Neuron VS.
http://www.hartmann-music.com/home/us/news/
Vielleicht hat der eine oder andere Forenbenutzer diesbezueglich eigene Ideen, die man in diesem Thread vorstellen und diskutieren koennte. Leef hat z.B. einen Midiprozessor programmiert der recht interessante Moeglichkeiten bietet. Quellen zu Programmiertools, z.b Wandlung von Zahlenreihen in Audiofiles waeren willkommene Hilfsmittel fuer einen Thread zu Audio Software Experimenten.
In dem Bereich bin ich momentan leider selber nur schlecht ausgestattet. Unter Dos war dies einfacher.
Im folgenden moechte ich als Beispiel eine Programmidee, ein Klangerzeugungskonzept, vorstellen, das mir vielversprechend erscheint.
Ausgangspunt ist eine "einfache" nichtlineare Differenzengleichung. Die logistische Gleichung. Ein spezieller Schnitt durch die Mandelbrotmenge :
y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k))
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
Diese iterative Abbildung ist sehr einfach zu implementieren und aus der Chaostheorie recht bekannt. Inzwischen auch Schulstoff. Fuer Anfangswerte y0 im Intervall y0=[0..1] erhaelt man in jedem Iterationsschritt eine Funktion im selben Intervall [0..1]. Der Parameter r=[0..4] steuert dabei das Verhalten der Funktion wie es z.B. im WIKI Link beschrieben wird.
Das Feigenbaumdiagramm zeigt ueber die Attraktoren das Verhalten des Steuerparameters r.
Allerdings klingt die Funktion y[k] als Audiosignal nicht sonderlich interessant. Es gibt auch Ansaetze von meist avangardistischen Kuenstlern, die die Iterationswerte als Mididaten verwenden.
Aber auch hier ist im Gegensatz zur visuell beeindruckenen Mandelbrotmenge das Ergebnis eher wenig spektakulaer. Man koennte auch sagen "duerftig"
http://optimierung.mathematik.uni-kl.de/~nchrist/MAMUSI/5mathematik_musikalisch_in_.htm
Naja, es gibt eine Vielzahl solcher "Versuche".
Ist die logistische Gleichung so unmusikalisch ? Vielleicht verwendet man nur die falschen Zahlenwerte ?
Der 2 er Zyklus stellt einen Rechteckgenerator da und der 4 er Zyklus die Ueberlagerung von Rechteckfunktionen.
Bei r annähernd 3,57, dem Feigenbaumpunkt beginnt das Chaos. Wie man auch im Klangbeispiel des Links hoert.
Dieses ist immer wieder von selbstaehnlichen Inseln der Ordnung unterbrochen. Z.B. bei r=1+Wurzel(8) dem sogenannten grossen Fenster der Ordnung. Fuer r=1+Wurzel(9)=4 erzeugt die Iteration dann scheinbar voelliges Chaos.
So ist die allemeine Beschreibung, Einschaetzung. Das ist aber nicht ganz zutreffend. Es ist zwar wenig bekannt, aber der Mathematiker Wolfram (Schoepfer von Mathematica) hat eine analytische Loesung der Gleichung fuer den Wert r=4 gefunden. Und die Loesung ist verblueffend "einfach" :
http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html
Dazu darf man aber nicht die Iterationswerte y(n,y0) selbst fuer einen Startwert betrachten, so wie dies bei den Klangkuenstlern in der Regel ueblich ist, sondern man muss die Gleichung fuer alle Startwerte y0 zu einem festen Zeit, Iterationsschritt n betrachten. Man verwendet somit nicht die Iterationswerte sondern die verketteten Polynome, die sich aus einer iterativen Verkettung der Grundgleichung r*y*(1-y) ergeben.
Klingt kompliziert, aber es ist relativ einfach. Ich habe das mal versucht hier naeher darzustellen :
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana6.htm
Beispiel verketteter Polynome :
In jedem Iterationsschritt wird ueber alle Anfangswerte solch ein Polynom erzeugt. Und die sehen nun doch schon mal recht wohlklingend, musikalisch aus.
Problematik :
Der Grad dieser Polynome steigt mit 2 hoch n. Dazu gleich mehr.
Fuer Wolframs Loesung fuer r=4, das angebliche Chaos zeigt sich schliesslich, dass das Polynom mit der einfachen Koordinatentransformation s=1-2*x einem frequenzmodulierten Sinus entspricht.
dessen Frequenz mit jedem Iterationsschritt n proportional zu 2 hoch n steigt.
Wuerde man sich in dieser Form die logistische Gleichung anhoeren erhielte man kein Chaos, sondern ein Sinus mit Vibrato. Da die analytische Loesung bekannt ist laesst sich auch die Frequenzmodulation, das Vibrato zu den Raendern hin ueber eine einfache Koordinatentransformation beseitigen. Dazu bildet man den Arkuscosinus und erhaelt eine reine Sinus b.z.w Kosinusschwingung.
Ein glatter Widerspruch zur ueblichen Auffassung, dass die logistische Gleichung fuer r=4 das Chaos repraesentiert.
Das verkettete Polynom stellt hier eine Sinusfunktion dar, die aufgrund der Frequenzmodulation fuer jeden Anfangswert falsch abgestastet wird und so zu einer chaotischen Iterationsfolge fuehrt.
Fuehrt man die aus der Loesung fuer r=4 bekannte Koordinatentransformation fuer die Funktion ueber die Anfangswerte durch erhaelt man einen Sinusgenerator, der mit jedem Iterationsschritt seine Frequenz verdoppelt.
Und wenn man diese Koordinatentransformation arccos beibehaelt und r variiert erhaelt man sicherlich schon einen kleinen interessanten nichtlinearen Synthesizer. Allerdings habe ich damit bisher erst graphisch experimentiert. Ich koennte wetten dass man damit sehr interessante Klaenge erhaelt.
Auch fuer r=2 existiert eine analytische Losung der logistischen Gleichung. Die entsprechende Koordinatentransformation zur Beseitigung der Frequenzmodulation besteht aus einer Logarithmierung statt der Bildung des Arkuskosinus. Damit erhaelt man einen Rechteckgenerator. Und unter Beibehaltung der Logaithmierung und Variation von r sicherlich weitere klanglich interessante Wellenformen.
Auch fuer r=1+Wurzel(5) existiert eine analytische Loesung ...
Nein, leider nicht ! Ich beschaeftige mich seit den 80 er Jahren mit dieser verflixten Gleichung.
Damals galt sie als voellig unloesbar. Nun existieren 3, davon 2 reelle analytische Loesungen. Wahscheinlich ist die Gleichung fuer andere Parameter tatsaechlich unloesbar. Wolfram gibt auf seiner Seite an, dass zumindesten bewiesen ist, dass keine weiteren Loesungen ueber die Bildung der Umkehrfunktion existieren. Schade denn es waere natuerlich interessant welche Wellenformen diese neben Sinus und Rechteck noch enthaelt.
Die logistische Gleichung enthaelt aber noch viel mehr. Vielleicht sogar alle Werke von Mozart
? Nee, natuerlich nicht, aber eventuell gewisse Prinzipien daraus. Dazu mehr im naechsten Beitrag.Gruesse
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Müßte ich mal tiefer drüber nachdenken.
