Wenn man schon mit Luft einsetzt, ist der Stimmlippenschluss oft nicht komplett. Das Verführerische am h ist, dass es die Kehle aufmacht und einem ein wenig "Schwung" vorgaukelt - genau der geht aber verloren, weil der Ton überhaucht ist. "Ist der Ansatz im Arsch, ist der Ton im Arsch."
Ziel ist im Gesangsunterricht ja normalerweise ein weicher Stimmeinsatz, aber wenn man dazu neigt, ein h zur Hilfe zu nehmen, kann es sinnvoll sein, sich mal bewusst zu machen, wie wir im Alltag beim ganz normalen Sprechen einen Vokal ansetzen: sag einfach mal Worte wie "ich", "Ente", "aber", "offen" und "unten" in normaler Sprechstimme in mittlerer Lautstärke vor dich hin und mach dir bewusst, wie der Vokal angesetzt wird. Du sagst nicht "hich", sondern der Vokal beginnt normalerweise mit einem recht abrupten Stimmeinsatz (Glottisschlag). Damit würde ich beim Singen mal experimentieren (bleib in der Wohlfühllage). Wenn das klappt, kannst du anschließend immer noch auf einen weicheren Ansatz hinarbeiten, ohne dass ein h dabei ist.