Übersicht: Dur-/Moll-Dreiklangspaare

[HëllRÆZØR]

Moin,

ich hatte ja vor einiger Zeit in einem anderen Thread erwähnt, dass ich eine Übersicht über alle Kombinationen von Dur-/Moll-Dreiklangspaaren (unter gewissen Voraussetzungen) erstellt habe. Dabei gehe ich von der 12-Stufigen Stimmung und Oktavgleichheit aus, und betrachte Dreiklangspaare, die nur Transpositionen anderer Dreiklangspaare sind als den selben Fall (z.B. C - Em = D - F#m). Die Datei befindet sich hier: Anhang anzeigen Dreiklangspaare_Dur&Moll.pdf

Zur Erläuterung:

In Tabelle 1 sind alle Dreiklangspaare vom gleichen Akkordtyp (Dur-Dur, Moll-Moll) aufgelistet, mit Ausnahme von Vertauschungen (z.B. ist D - F# enthalten, aber nicht die Vertauschung F# - D = D - Bb). Der Wert x steht hier für den Abstand der Akkorde in Halbtönen. Will man hier alle 24 Fälle haben, muss man für x = 1 bis 5 also noch die Vertauschungen der gegebenen Akkordpaare hinzunehmen.

In Tabelle 2 sind alle 24 Dreiklangspaare von unterschiedlichem Akkordtyp aufgelistet (Dur-Moll, Moll-Dur).

Dabei habe ich die Akkordpaare in Symmetrieklassen zusammengefasst:

• Akkordpaare, die nur Vertauschungen der Akkorde eines anderen Akkordpaares sind, liegen in einer Symmetrieklasse. Das vorher erwähnte Akkordpaar D - Bb liegt also in der selben Symmetrieklasse wie D - F#, ich habe diese Fälle allerdings wie gesagt in Tabelle 1 ausgelassen - man muss sie sich also dazu denken.
• Akkordpaare, die in der Tonhöhe spiegelsymmetrisch zu anderen Akkordpaaren sind, liegen in einer Symmetrieklasse, und werden in der gleichen Zeile aufgelistet (z.B. D - G und Dm Am sind spiegelsymmetrisch bzgl. der Tonhöhe, gespiegelt im Intervall d - a, also in der Quinte des ersten Dreiklangs). Dabei erhält man bei unterschiedlichem Dreiklangstyp (Tabelle 2: Dur-Moll, Moll-Dur) bei Vertauschung und bei Tonhöhenspiegelung das gleiche Ergebnis: D - Em vertauscht ergibt Em - D = Dm - C, was das Gleiche ist wie die Tonhöhenspiegelung von D - Em im Intervall d - a.

Die Symmetrieklassen haben den Vorteil, dass "ähnliche" Akkordpaare zusammengefasst sind. Der Vorteil ist insbesondere bei der Vertauschung der Akkorde eines Paares offensichtlich, da der Unterschied nur in der gespielten Reihenfolge besteht. Ob man dagegen tonhöhensymmetrische Akkordpaare zusammenfassen sollte (z.B. D - F und Dm - Bm) dürfte dagegen Ansichtssache sein.

Ein wesentlicher Vorteil davon besteht in der Zuordnung zu einem Skalensystem, und in der Ähnlichkeit einer Analyse: Ist eine Akkordfolge in einem Skalensystem enthalten, so ist ihre Tonhöhenspiegelung in der Tonhöhenspiegelung des Skalensystems enthalten. Der Clou: Viele gebräuchliche Skalensysteme (z.B. Kirchentonarten, Melodisch Moll, Pentatonik, Zigeuner Moll, HTGT/GTHT) sind in sich selbst spiegelsymmetrisch bzgl. der Tonhöhe, d.h. bei Tonhöhenspiegelung bleibt man in dem selben Skalensystem. Für unsere Betrachtungen bedeutet das z.B., dass das Akkordpaar Dm - Cm in Melodisch Moll enthalten ist, weil seine Tonhöhenspiegelung D - E in Melodisch Moll vorkommt, und weil Melodisch Moll ihn sich spiegelsymmetrisch bzgl. der Tonhöhe ist. Eine wichtige Ausnahme eines nicht in sich spiegelsymmetrischen Skalensystem ist Harmonisch Moll: Spiegelt man eine Akkordfolge im Harmonisch Moll-System, so erhält man eine Akkordfolge im Harmonisch Dur-System, und umgekehrt. Wenn ein Akkordpaar in Tabelle 1 also in Harmonisch Moll vorkommt, dann kommt das andere Akkordpaar dieser Zeile (-> Tonhöhenspiegelung) also in Harmonisch Dur vor, und umgekehrt (z.B. liegt D - F in Harmonisch Dur, und Dm - Bm in Harmonisch Moll).

Ein weiterer Vorteil liegt in der harmonischen Analyse: Analysiert man ein Akkordpaar, so kann man die Analyse des spiegelsymmetrischen Akkordpaars sehr ähnlich durchführen. Um z.B. Dm - Bm als Teil von F#-Moll Harmonisch zu betrachten, muss man enharmonische Verwechslung erlauben, oder einen der Dreiklänge umdeuten (Dm -> d e# a). Symmetrisch verhält es sich mit D - F, interpretiert als Teil von Bb-Dur Harmonisch, wo man bei enharmonisch korrekter Betrachtung "D" = d gb a schreiben müsste.

Noch ein paar Erläuterungen zu den Tabellen:

• Die Funktionen beziehen sich auf den zweiten Akkord eines Akkordpaares, bei Annahme dass es sich beim ersten Akkord um die Tonika handelt. Dabei musste ich mir teilweise mit Schreibweisen wie "ssG" aushelfen ("Gegenklang der Moll-Doppelsubdominante"), die es zwar "eigentlich gar nicht gibt", die aber nützlich sind um den Verwandtschaftsgrad auf einem Quint-Terz-Raster zu beschreiben (-> 2 Quinten und 1 große Terz abwärts). Die Funktionen in Klammern beziehen sich auf die ausgelassenen Akkordpaare, die nur eine Vertauschung der Akkorde sind (z.B. bei D - G bezieht sich (D) auf den zweiten Akkord der Vertauschung G - D = D - A, wenn man den ersten Akkord als Tonika annimt).
• "Gem. Töne" steht für die Anzahl gemeinsamer Akkordtöne.
• Die betrachteten Tonleitersysteme habe ich aufgrund folgender Kriterien ausgewählt: Kirchentonleitern, Harmonisch Moll und Melodisch Moll sind in der europäischen Musikkultur von besonderer Relevanz, Harmonisch Dur musste wegen der Symmetrie zu Harmonisch Moll dabei sein. HTGT hielt ich für brauchbar, um weitere Akkordpaare abzudecken - insbesondere bei Akkordverschiebungen um einen Tritonus. Die symmetrische 3-1-Leiter (0 3 4 7 8 11 12) besteht exakt aus den Tönen des Akkordpaars D - Bbm, und war daher notwendig (oder eine andere Skala, die 3-1 enthält). Zigeuner-Moll habe ich wegen den vielen enharmonischen Umdeutungsmöglichkeiten genommen. Die Pentatonik habe ich ausgelassen, da sie eh nur einen Dur- und einen Moll-Dreiklang enthält (es kommt nur eine große Terz vor), was die Sache eher uninteressant macht.

Wie (und ob ^^) ihr die Tabelle nutzt ist natürlich euch überlassen, und ihr müsst nicht alles verstanden haben was ich hier geschrieben habe, um was damit anfangen zu können. Der wichtigste Nutzen dürfte der sein, eine Übersicht über alle Kombinationen von Dur-/Moll-Dreiklängen zu haben, aus der man ablesen kann, in welchen bekannten Tonleitersystemen diese vorkommen. Der Rest ist bloß Zusatzinformation für Interessierte.

 

[cvinos]

Danke, eine interessante Aufstellung. Um es besser zu verstehen: Was ist, oder was meinst du mit, Tonhöhenspiegelung?

 

[HëllRÆZØR]

Hi,

schön dass du nachfragst. Mit "Tonhöhenspiegelung" meine ich die Spiegelung eines Tonvorrats in "üblicher" (melodisch/logarithmischer) Darstellung an einem Ton, oder einem Intervall.

Nimmt man z.B. eine Dur-Leiter 0 2 4 5 7 9 11 12 (Halbtondarstellung) und spiegelt sie am Grundton "0", so erhält man durch Multiplikation mit -1 Phrygisch abwärts: 0 -2 -4 -5 -7 -9 -11 -12. Will man die Dur-Tonleiter dagegen in der Quinte 0 - 7 spiegeln, so muss man nach dem Multiplizieren mit -1 nur 7 addieren: 7 5 3 2 0 -2 -4 -5. Wie hier schon angedeutet ist macht es für die Intervallstruktur selbst keinen Unterschied, ob man die Spiegelung an einem Ton oder in einem Intervall durchführt (und in welchem), der Unterschied liegt lediglich darin, wie weit nach der Spiegelung alles verschoben ist. Eine Spiegelung in einem Intervall ist übrigens das gleiche wie eine Spiegelung um den Ton in der Mitte des Intervals (das Ergebnis einer Spiegelung von Dur am Tritonus 6, bzw. in der Oktave 0 - 12 wäre übrigens 12 10 8 7 5 3 1 0).

Eine Spiegelung an einem Dur-Dreiklang 0 4 7 in 0 ergibt 0 -4 -7, einen Moll-Dreiklang von seiner Quinte 0 aus abwärts. Spiegelt man 0 4 7 in der Quinte 0 - 7, so ergibt sich 0 3 7 (die Moll-Variante des Dur-Dreiklangs).


Eine Spiegelung lässt also die Intervallstruktur gleich, nur in umgekehrter Richtung, und transponiert alles abhängig davon, wo man den Tonvorrat spiegelt. Deshalb meine Bemerkung, dass sich zueinander spiegelsymmetrische Akkordpaare ähnlich analysieren lassen, da sie die gleiche Intervallstruktur besitzen, wenn man von der Richtung absieht (und somit den Skalensystemen zuordbar ist, die spiegelsymmetrisch zu den ursprünglichen Skalensystemen sind - wobei viele wichtige Skalensysteme in sich selbst spiegelsymmetrisch sind). Im Wesentlichen habe ich die Akkordpaare hauptsächlich deshalb nach Tonhöhenspiegelsymmetrie zusammengefasst, weil Akkorde in einer Symmetrieklasse a) sich ähnlich interpretieren lassen, und b) in den gleichen, oder zumindest zueinander spiegelsymmetrischen Skalensystemen (Harmonisch Dur <-> Harmonisch Moll) vorkommen.


Im harmonischen Dualismus lässt sich diese Spiegelung auch so interpretieren, dass das was vor der Spiegelung "Moll war", "Dur wird", und umgekehrt, wobei das Verständnis von Dur und Moll nach dem harmonischen Dualismus ein anderes ist als das klassische, und sich weitestgehend an Ober- und Untertonreihe orientiert (die Spiegelung der Obertonreihe ist die Untertonreihe, und umgekehrt). Die Unterschiede sind teilweise beträchtlich, was man z.B. daran sieht dass in sich symmetrische Akkorde (wie maj7, m7) im harmonischen Dualismus gleichermaßen Dur und Moll zuzuordnen sind, also Vorsicht.

 

[cvinos]

Verstehe ich das richtig? Ich habe eine Intervallfolge von 0 4 7, also Grundton, Große Terz und Quinte. Die Spiegelung am Grundton ist dann 0 -4 -7, also Grundton (bzw. jetzt oberer Ton), Große Terz nach unten, Quinte nach unten, was dann von dem Ton bei -7 aufwärts gesehen 0 3 7 ist, also Grundton, Kleine Terz und Quinte.

Könntest du mal zwei Beispiele (nicht nur die Ergebnisse, sondern die komplette Herleitung) für den Dur-Dreiklang C machen, bei dem einmal am Grundton und einmal an der Terz gespiegelt wird, diesmal nicht mit den Intervallen sondern mit konkreten Tönen c e g usw.?

 

[HëllRÆZØR]

Verstehe ich das richtig? Ich habe eine Intervallfolge von 0 4 7, also Grundton, Große Terz und Quinte. Die Spiegelung am Grundton ist dann 0 -4 -7, also Grundton (bzw. jetzt oberer Ton), Große Terz nach unten, Quinte nach unten, was dann von dem Ton bei -7 aufwärts gesehen 0 3 7 ist, also Grundton, Kleine Terz und Quinte.

Genau, das war's was ich meinte.

Könntest du mal zwei Beispiele (nicht nur die Ergebnisse, sondern die komplette Herleitung) für den Dur-Dreiklang C machen, bei dem einmal am Grundton und einmal an der Terz gespiegelt wird, diesmal nicht mit den Intervallen sondern mit konkreten Tönen c e g usw.?

Klar. Spiegelt man C = c e g am Grundton c, so bleibt c erhalten. e liegt eine große Terz über c, und wird durch die Spiegelung zu Ab, dem Ton der eine große Terz unter c liegt. Ähnlich wird g (eine reine Quinte über c) zu F (eine reine Quinte unter c). Das Ergebnis ist F Ab c = Fm.

Nun weiß ich nicht genau, ob du mit "Spiegelung an der Terz" den Ton e meinst, oder das Intervall c - e.

Bei der Spiegelung an e bleibt e erhalten, c (eine große Terz unter e) wird zu g# (große Terz über e), und g (kleine Terz über e) wird zu c# (kleine Terz unter e). Das Ergebnis ist c# e g# = C#m.

Bei Spiegelung um die Terz c - e wird c zu e, und e zu c, da ändert sich also nichts. Der ursprüngliche Akkordton g, welcher eine Quinte über c bzw. eine kleine Terz über e liegt, muss nach der Spiegelung eine Quinte unter e (e = Spiegelung von c) bzw. eine kleine Terz unter c (c = Spiegelung von e) liegen, wird also zu A. Das Ergebnis ist A c e = Am, mit den Entsprechungen c -> e, e -> c, g -> A.
Das gleiche Ergebnis würde man erhalten, wenn man die Spiegelung am Ton d durchführen würde, der Mitte der großen Terz c - e. In diesem Fall finde ich es allerdings anschaulicher, wenn man sagt dass C und Am spiegelsymmetrisch um die Terz c - e sind, statt um den Ton d. Des Weiteren kann es passieren, dass man z.B. um ein Intervall ungerader Halbtongröße spiegelt, wie z.B. den C-Dur-Dreiklang um die kleine Terz e - g. In diesem Fall wäre das Ergebnis (Em) identisch zu einer Spiegelung an dem Ton, der exakt zwischen f und f# liegt, was noch wesentlich unanschaulicher wird, als von der Spiegelung um das Intervall e - g zu sprechen.


Besonders anschaulich finde ich es übrigens, bei einer graphischen Darstellung (chromatischer Zirkel, Quintenzirkel, Tonnetz*) die Spiegelachse einzuzeichnen, und zu schauen welcher Ton auf welchen gespiegelt wird. Da wirst du auch feststellen, dass es keinen Unterschied macht, ob man nun um c oder um f#/gb spiegelt (zumindest in der 12-Stufigen Stimmung), wenn die Oktavlage irrelevant ist.

* Beim Tonnetz muss man zweimal spiegeln (einmal um Quintachse, einmal um Großterzachse). Die Spiegelachsen gehen entweder durch den Ton, oder durch die Mitte zwischen den beiden Tönen des Intervalls, um den/das gespiegelt werden soll.