mathematische Spielerei Teil III

von Houellebecq!, 16.02.06.

  1. Houellebecq!

    Houellebecq! Registrierter Benutzer

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    Erstellt: 16.02.06   #1
    diesmal habe ich mir die Frage gestellt, wie man möglichst rasch herausfinden kann, wieviele/ welche Vorzeichen eine vorgegebene Tonart hat, sei sie auch noch so exotisch. Dazu habe ich mir folgendes Verfahren überlegt:

    formal sollte man erstmal die Vorzeichen einiger gäniger Tonarten auswendig lernen, das ist zwar mathematisch nicht unbedingt erforderlich (je besser man rechnen kann, desto weniger muss man auswendig lernen...), sorgt aber dafür, dass man wesentlich rascher auf ein Ergebnis kommt, ohnehin ist das Verfahren rein pragmatisch, ist zwar enharmonisch korrekt, ich kann aber nicht jeden einzelnen Schritt auch wirklich mathematisch begründen/ herleiten.

    1. wenn man zunächst mal bei 0 anfängt, sollte man etwa die Vorzeichen der Dur-Tonleitern, die auf den einzelnen Tönen der c-Dur-Tonleiter basieren, auswendig lernen (das klingt zugegebenermaßen erstmal ziemlich beliebig und unsystematisch). c-d-e-f-g-a-h-c: c-Dur: 0 #/ b, d-Dur: 2 #, e-Dur: 4 #, f-Dur: 1 b, g-Dur: 1 #, a-Dur: 3 #, h-Dur: 5 #

    2. das "12 Vorzeichen-Verfahren" copyright2006: Hodgesaargh

    2 enharmonisch verwechselte Tonarten haben zusammen immer 12 Vorzeichen, Ausnahmen: sobald eine Tonart allein schon mehr als 12 Vorzeichen hat, unterscheiden sich die beiden Tonarten um genau 12 Vorzeichen; für Fälle wie h## und des gilt diese Regel ebenso nicht, weil hier das "c" "übersprungen" wurde. Dass eine Tonart mehr als 12 Vorzeichen hat, erkennt man daran, dass bereits aus dem Grundton ein enthaltenes Doppel-# hervorgeht.
    BEISPIELE: g#-Dur hat 8 #, as-Dur hat 4 b (4+8=12); d-Dur hat 2 #, c##-Dur hat demnach (12-2=) 10 #; g-Dur hat 1 #, f##-Dur demnach (1+12=) 13 #

    3. das "7 Vorzeichen-Verfahren" copyright2006: Hodgesaargh

    2 Tonarten im chromatischen Abstand, wobei sich sich beide vom gleichen Grundton ableiten müssen (c und c#, d und des, aber nicht c und des oder d und c#), haben zusammen 7 Vorzeichen, Ausnahmen: ähnlich wie beim 12 Vorzeichen-Verfahren gilt die Regel natürlich nur, solange beide Tonarten jeweils maximal 7 Vorzeichen haben. Andernfalls ist 7 wieder die Differenz der Vorzeichen beider Tonarten, dass man diese "Schwelle" übertreten hat, erkennt man schlicht daran, dass beide Verfahren unterschiedliche Ergebnisse liefern, in diesem Fall hat witzigerweise immer das 12 Vorzeichen-Verfahren Recht.
    BEISPIELE: a-Dur hat 3 #, as-Dur hat 4 b (3+4=7), fes-Dur: das 7 Vorzeichen-Verfahren liefert über f-Dur zunächst (7-1=) 6 Vorzeichen, das 12 Vorzeichen-Verfahren richtigerweise mit dem enharmonisch verwechseltem e-Dur (12-4=) 8 Vorzeichen, wenn man aber die oben genannte Ausnahme beachtet, liefert auch das 7 Vorzeichen-Verfahren über f-Dur (1+7=) 8 Vorzeichen.

    4. sollte eigentlich klar sein: die jeweils verwandte Moll-Tonart erhält man, indem man eine kl. Terz runter bzw. eine gr. Sexte hochgeht und umgekehrt. Ansonsten kann man aber auch erstmal in Moll bleiben, die beschriebenen Verfahren funktionieren auch da.
     
  2. HëllRÆZØR

    HëllRÆZØR HCA-Harmonielehre HCA

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    Erstellt: 17.02.06   #2
    Wenn du die Anzahl an Vorzeichen einer Dur-Tonleiter bestimmen willst, musst du einfach dass Intervall vom "c" zum Grundton der Tonleiter nehmen und bestimmen aus wie vielen Quinten es besteht.

    Du kannst dabei das Intervall in kleine Sekunden, große Sekunden und übermäßige Primen zerlegen, wobei du für diese Intervalle die Quinten folgendermaßen zählst:
    Große Sekunde: 2 Quinten
    Kleine Sekunde: -5 Quinten
    Übermäßige Prim: 7 Quinten

    Bei einer positiven Anzahl an Quinten hast du die Anzahl der #-chen, bei einer negativen Anzahl Quinten hast du die Anzahl an b-chen.

    Beispiele:
    - H-Dur ist eine kleine Sekunde unter dem "c", also -(-5) Quinten = 5 Quinten, also 5 #-chen
    - C##-Dur ist 2 übermäßige Primen über dem "c", hat also 2x7 Quinten = 14 Quinten (und nicht etwa 10), also 14 #-chen

    Mit Moll geht's natürlich ähnlich:
    - des-Moll ist eine verminderte Quarte über dem "a", also 2 große Sekunden (cis), 1 kleine Sekunde (d) und 1 übermäßige Prim abwärts (des),
    also 2x2 Quinten -5 Quinten -7 Quinten = -8 Quinten, also 8 b-chen.
     
  3. Roland Kramer

    Roland Kramer Mod Emeritus Ex-Moderator HFU

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    Erstellt: 09.03.06   #3
    So ne Idee hatte ich auch mal!

    Ich hab' mir damals (so vor 25 Jahren) folgendes überlegt:

    C-Dur = 0 Vorzeichen.
    Dann geht man chromatisch nach oben und zählt die Schritte, z.B. nach G-Dur 7 Schritte.
    Für jeden Schritt 7# ==> K = 7 * 7 (mod 12) = 1 ==> B = 11
    Also:
    n Schritte chromatisch nach oben haben K = n * 7 (mod 12) Kreuze
    enharmonisch dann 12 - K Bs!

    Alternativ:
    Für jeden Halbtonschritt nach unten 7b dazuzählen (modulo 12):
    Beispiel As-Dur: 4 Schritte nach unten
    B = 4 * 7 (mod 12) = 28 (mod 12) = 4
    K = 12 - B
    A-Dur dementsprechend B = 3 * 7 (mod 12) = 21 mod 21 = 9 ==> K = 3

    Is' aber nur was für Mathefreaks, mit musik hat das nicht mehr viel zu tun, meine ich!


    Grüsse
    Roland
     
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