Mikrotonale Musik - Diverses

[cvinos]

* Worin denkt ihr liegt die Bedeutung der Funktion G?

Euler hat hier aus der "Ungeradigkeit" der Frequenzverhältnisse einen Konsonanzgrad abgeleitet. Je gerader ein Bruch, desto kleiner ist G. Er verwendet hier einen Trick. G ist annähernd das Produkt der Primfaktoren des kgV des jeweiligen Bruches. Wie hoch G ausfällt, hängt von der Anzahl und der Größe der Primfaktoren im kgV ab. Der Trick für die deutliche Gewichtung: Jedem Primfaktor wird 1 abgezogen. Primfaktoren verlieren damit als Faktoren in der Gleichung an Gewicht; je größer die Faktoren, desto weniger Gewicht verlieren sie (2 - 1 = 1, 3 - 1 = 2, ..., 13 - 1 = 12 usw.). Der Primfaktor 2 ist hier ein Spezialfall, denn er wird durch den Abzug zur 1 und verändert dann das Ergebnis überhaupt nicht mehr, verliert also sein gesamtes Gewicht.

Voraussetzung für die Verwendung der Funktion ist im Übrigen, dass der Bruch zuerst gekürzt wird, bevor man das kgV bildet.

* Was haltet ihr von diesem Verfahren zur Konsonanzgradbestimmung?

Es ist ein Zahlentrick.

* Wie könnte man die Funktion nutzen, um die Konsonanz von Akkorden zu bestimmen?

Für alle (!) Intervalle im Akkord (nicht nur die von einem Ton zum benachbarten Ton) G bestimmen. Allerdings jedes Intervall nur einmal zählen. Anschließend die Summe aller dieser Gs bilden. Der erhaltene Wert repräsentiert einen Konsonanzgrad des Akkords.

 

[HëllRÆZØR]

Hi, schön dass du dich auch wieder in die Diskussion einklinkst.

Euler hat hier aus der "Ungeradigkeit" der Frequenzverhältnisse einen Konsonanzgrad abgeleitet. Je gerader ein Bruch, desto kleiner ist G.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich hier richtig verstanden habe. Geht es dir darum, dass der Primfaktor 2 (Oktave) beim Konsonanzgrad kaum ins Gewicht fällt?

Er verwendet hier einen Trick. G ist annähernd das Produkt der Primfaktoren des kgV des jeweiligen Bruches. Wie hoch G ausfällt, hängt von der Anzahl und der Größe der Primfaktoren im kgV ab. Der Trick für die deutliche Gewichtung: Jedem Primfaktor wird 1 abgezogen. Primfaktoren verlieren damit als Faktoren in der Gleichung an Gewicht; je größer die Faktoren, desto weniger Gewicht verlieren sie (2 - 1 = 1, 3 - 1 = 2, ..., 13 - 1 = 12 usw.). Der Primfaktor 2 ist hier ein Spezialfall, denn er wird durch den Abzug zur 1 und verändert dann das Ergebnis überhaupt nicht mehr, verliert also sein gesamtes Gewicht.

Hm ... die Punkte mit der Annäherung des kgV und mit der Irrelevanz der Oktave würden zutreffen, wenn die Funktion G(a) = 1 * (p1 - 1)^e1 * (p2 - 1)^e2 * (p3 - 1)^e3 * ... lauten würde. Bei der tatsächlichen Definition G(a) = 1 + e1*(p1 - 1) + e2*(p2 - 1) + e3*(p3 - 1) + ... ist das aber nicht der Fall, da die gewichteten Primfaktoren addiert, und nicht multipliziert werden (bei 9/7 z.B. erhält man 1 + 2*(3-1) + (7-1) = 11, was wesentlich kleiner als das kgV 7*9 = 63 ist). Falls du bei der Formel etwas missverstanden haben solltest, frag ruhig nach.

Mit der Gewichtung hast du ansonsten trotzdem Recht, und kleinere Primfaktoren fallen weniger ins Gewicht als größere (insbesondere Faktor 2 = Oktave). Die Addition von 1 am Anfang der Formel habe ich mir bisher übrigens nur dadurch erklären können, dass Euler als Zahlentheoretiker eine Abbildung in die natürlichen Zahlen wollte, die zumindest damals mit 1 anfingen (heute schließt man auch schon mal die 0 mit in die natürlichen Zahlen ein). Weiterhin ergibt sich dadurch - wie bereits erwähnt - eine Gewichtung, die bei jeder Prinzahl p zu G(p) = p führt. Abgesehen von dieser Zahlenspielerei kann ich die Addition der 1 allerdings überhaupt nicht nachvollziehen, wobei ich mir sowieso nicht ganz klar über die Bedeutung der Formel bin. Naja, wer weiß, vielleicht macht es ja doch einen gewissen Sinn, man weiß ja nie ...

Ich hatte auch schon überlegt, die "1 + " wegzulassen, und die Gewichte zu verallgemeinern:
G'(a) = e1*w1 + e2*w2 + e3*w3 ...
...wobei e1, e2, e3 etc. die Exponenten der jeweiligen Primfaktoren sind, und w1, w2, w3 etc. deren Gewichte, mit w1 < w2 < w3 < ... .

Voraussetzung für die Verwendung der Funktion ist im Übrigen, dass der Bruch zuerst gekürzt wird, bevor man das kgV bildet.

Joa, bzw. das kgV aus Nenner und Zähler bilden ist das Gleiche wie kürzen, und dann Nenner und Zähler multiplizieren. Aber ich weiß schon was du meinst.

Für alle (!) Intervalle im Akkord (nicht nur die von einem Ton zum benachbarten Ton) G bestimmen. Allerdings jedes Intervall nur einmal zählen. Anschließend die Summe aller dieser Gs bilden. Der erhaltene Wert repräsentiert einen Konsonanzgrad des Akkords.

Von der Grundidee würde ich das auch so machen; allerdings dachte ich daran, am Schluss durch die Anzahl der Intervalle zu teilen, so dass auch ein Vergleich zwischen Akkorden mit unterschiedlicher Tonzahl möglich ist, wobei der Konsonanzgrad von Akkorden dem durchschnittlichen Konsonanzgrad aller Intervalle entspricht.

Wichtig ist allerdings, dass hier nur die Einfachheit von Frequenzverhältnissen berücksichtigt wird (und das nach einer Formel mit nicht-trivialer Bedeutung), nicht aber, dass wir z.B. einen "Obertonreihen-Akkord" als einen Ton hören, während der Konsonanzgrad eines solchen Obertonreihen-Akkords wesentlich dissonanter ausfällt als der einer Prime. Naja, wie gesagt, die Übergänge zwischen Ton und Klang sind dank dem Obertonspektrum fließend.

 

[cvinos]

Ich hatte mich auf folgende Definition der Funktion bezogen, dort werden die Primfaktoren multipliziert:

http://www.pdp7.org/files/gradus.pdf

Wieso siehst du den Primfaktor 2, der ja in der Primfaktorzerlegung des kgVs eines x-beliebigen Intervalls vorkommen kann, als Oktave an?

 

[HëllRÆZØR]

Der Primfaktor 2 steht für eine Oktavverschiebung. Vergleicht man p/q mit 2p/q oder mit p/2q, so beträgt der Unterschied eine Oktave nach oben oder unten. Die Vorkommnisse einer 2 bestimmen also die Oktavlage eines Intervalls.

Den gradus suavitatis kenne ich nur als Summe der Gewichte, nicht als Produkt. Den lateinischen Originaltext, in dem der gradus suavitatis definiert wird findest du hier: http://math.dartmouth.edu/~euler/
(Nr. 33 - "Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae.")

Ich habe mich mit dem Text leider noch nicht befasst (ist schon eine Weile her mit dem Lateinunterricht ^^), aber auf S. 41 (pdf S. 34) ist eine Tabelle abgebildet, in der links der gradus suavitatis als römische Zahl steht, und rechts die entsprechenden kgV der Verhältnisse, und da sieht man dass die Definition mit der Multiplikation nicht korrekt sein kann, während zumindest die ersten Werte mit der von mir beschriebenen Definition übereinstimmen.

Es würde aber auch wenig Sinn machen, die 2 (Oktave) bei der Gewichtung komplett zu ignorieren - ansonsten hätte z.B. die kleine Terz 6:5 den gleichen Konsonanzgrad wie die große Septime 15:8, die kleine Sekunde 16:15 oder sogar wie die kleine None 32:15; und da sind m.M.n. schon sehr starke Unterschiede in der Konsonanz erkennbar (wobei man die Dissonanz der kleinen Sekunde allerdings auch auf Schwebungen zurückführen kann, die bei der Konsonanzgradbestimmung nicht berücksichtigt werden). Beim gradus suavitatis wird also nicht von Oktavgleichheit ausgegangen!

 

[Algorithmus]

Ein befreundeter Komponist hat mir mal gezeigt, das Obertöne zwar wirksam sein können, aber meist ganz anders als Gedacht. Eines seiner Stücke verwendet einen Klang H1+a#1 (=kleine Sekunde bzw. große Septime), was aber sehr weich und Konsonant klingt. Er führte das darauf zurück, das der Oberton d#1 beim H1 herauskommt. Und h d# a# ist ein sehr weicher Klang.

Spielt man aber nun D0 + a#1 (=grosse Terz bzw. kleine Sexte), klingt es sehr böse. Und das mag nun wieder am f#1 liegen, das beim D0 durchkommt. Und d f# a# ist der übermässige Dreiklang. Also in solchen Extremfällen scheinen Obertöne einen Einfluss zu haben, aber in normalen Lagen werden sie wohl nicht wahrgenommen und haben auf die Wirkung der Zusammenklänge keinen Einfluss.

Das der Dissonanzgrad höher wirkt, wenn Klänge mit wenig oder keinen Obertönen verwendet werden, ist ja auch schon erwähnt worden.

 

[HëllRÆZØR]

Ein befreundeter Komponist hat mir mal gezeigt, das Obertöne zwar wirksam sein können, aber meist ganz anders als Gedacht. Eines seiner Stücke verwendet einen Klang H1+a#1 (=kleine Sekunde bzw. große Septime), was aber sehr weich und Konsonant klingt. Er führte das darauf zurück, das der Oberton d#1 beim H1 herauskommt. Und h d# a# ist ein sehr weicher Klang.

Mir ist deine Oktavnotation nicht ganz klar; einerseits verwendest du Klein- und Großbuchstaben, was auf die deutsche Notation hinweist, auf der anderen Seite aber Zahlen wie im Englischen. Ich vermute mal H1 ist gleichbedeutend mit H', und d#1 mit dis', da sich so das Obertonverhältnis 1:5 ergibt.

Damit wäre das Intervall H1+a#1 eine große Septime + 2 Oktaven, in der reinen Stimmung ergibt sich das Verhältnis 15:2, welches einfacher ist als das einer nicht-oktavierten großen Septime (15:8). Würde man das Intervall noch um eine Oktave vergrößern (H2+a#1 oder H1+a#2), so hätte man eine direkte Obertonbeziehung 1:15. Neben dem von dir erwähnten d#1 konsonieren übrigens auch weitere Obertöne von H1 mit a#1, manche sogar noch besser.

Spielt man aber nun D0 + a#1 (=grosse Terz bzw. kleine Sexte), klingt es sehr böse. Und das mag nun wieder am f#1 liegen, das beim D0 durchkommt. Und d f# a# ist der übermässige Dreiklang. Also in solchen Extremfällen scheinen Obertöne einen Einfluss zu haben, aber in normalen Lagen werden sie wohl nicht wahrgenommen und haben auf die Wirkung der Zusammenklänge keinen Einfluss.

Ich nehme an, du beziehst dich auf die 12-Stufige Stimmung (= 12et)? In der reinen Stimmung liegt zwischen übermäßiger Quinte (25:16) und kleiner Sexte (8:5) nämlich das 41 Cent große Mikrointervall einer kleinen Diesis, da wäre es dann wichtig zu differenzieren.

Bei der kleinen Sexte ist zu beachten, dass sie dissonanter wird, wenn man sie um eine oder mehrere Oktaven vergrößert. Eine Oktaverhöhung bedeutet einen Faktor um 2, aus 8:5 wird 16:5, 32:5 usw., im Gegensatz zur großen Septime (15:8), bei der eine Multiplikation mit 2 zu mehr Konsonanz führt. Man muss also nicht über die Obertöne gehen, um die erhöhte Dissonanz erklären zu können.

Das der Dissonanzgrad höher wirkt, wenn Klänge mit wenig oder keinen Obertönen verwendet werden, ist ja auch schon erwähnt worden.

Ich denke man kann das nicht verallgemeinern. Wenn ich z.B. besonders dissonante Intervalle habe, so machen sich die Dissonanzen im Falle des Fehlens bestimmter Obertöne nicht so stark bemerkbar. Auf der anderen Seite gibt es Intervalle wie die große Septime, die ein Verwandtschaftsverhältnis zwischen zwei Tönen ausdrückt dass ohne bestimmte Obertöne nicht so leicht zu erkennen ist, und hier können sich die Obertöne positiv auf die Konsonanz auswirken. Bei Klängen mit abweichendem Obertonspektrum (Obertöne, die kein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz sind) können auch eigentlich konsonante Intervalle dissonant werden, und umgekehrt. Diese Abweichungen können synthetisch erzeugt werden, aber durchaus auch in der Natur vorkommen (z.B. Schmutz und Korrosion durch Schweiß sorgen für eine Abweichung beim Obertonspektrum einer gezupften / angeschlagenen, aber nicht gestrichenen Saite).