Naturtonreihe - Schwingungsverhältnisse

[Late-Jay]

Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit der Naturtonreihe und Schwingungsproportionen bei Intervallen
Die Naturtonreihe ist ja aus einer aufsteigenden Reihe der ganzzahligen Schwingungsproportionen (1:2:3...) aufgebaut und besteht aus den Tönen

1: C
2: c
3: g
4: c'
5: e'
6: g'
7: hb'
8: c''
9: d''
10: e''
11: f#''
12: g''

Nun ist
1:2 -> reine Oktave
2:3 -> reine Quinte
3:4 -> reine Quarte
4:5 -> große Terz
5:6 -> kleine Terz
6:7 -> kleine Terz
7:8 -> große Sekunde
8:9 -> große Sekunde
9:10 -> große Sekunde
10:11 -> große Sekunde
11:12 -> kleine Sekunde

Stimmt das? / Hab ich die Intervalle richtig berechnet?
Und wenn ja, wieso gibt es für die kleine Terz und große Sekunde unterschiedliche Schwingungsproportionen?

Ich verstehe das nicht.
Kann mir jemand helfen; das wäre nett.

 

[Hans_3]

Das Verhältnis bezieht sich immer auf die Frequenz des Ausgangstons und nicht auf die Intervalle untereinander:.

http://de.wikipedia.org/wiki/Naturtonreihe

 

[MaBa]

Und wenn ja, wieso gibt es für die kleine Terz und große Sekunde unterschiedliche Schwingungsproportionen?

Hier erst einmal die Kurzantwort:

Die Verhältnisse zweier benachbarten Obertönen weichen mehr oder weniger von den idealen reinen Intervallen ab. Aber eben nicht so stark, daß man es schon wieder als neues Intervall wahrnimmt, es klingt nur verstimmt.

Selbst in der reinen Stimmung gibt es unterschiedlich große Ganztonschritte.

Unsere heutige gleichstufige Stimmung ist ein Kompromiß aus Klangreinheit und Modulierbarkeit. Bildet man nämlich eine reine Stimmung (Intervalle sollen möglichst exakten ganzzahligen Verhältnisssen entsprechen), so klingt die Stimmung nur in einer einzigen Tonart, da allerdings sehr rein.

Falls du es ein wenig genauer wissen willst, hier die längere Antwort. Die Ableitung der Schwingungsverhältnisse in der reinen Stimmung ist nur ein wenig Mathematik:

Die reine Stimmung baut sich auf aus drei reinen Durdreiklängen, die im Quintabstand zueinander stehen. Subdominante, Tonika, Dominante. Sowohl der Durdreiklang als auch die Quinte bestehen aus Tönen mit sehr einfachen Frequenzverhältnissen.

Dreiklang 4:5:6
Quinte 2:3
​

Daraus kann man sich eine Tonleiter mit reiner Stimmung ableiten:

               Töne der drei Dreiklänge im Quintabstand
--------------------------------------------------------
Subdominante  | F    A    C                            |
Tonika        |           C    E    G                  |
Dominante     |                     G    B    D        |
--------------------------------------------------------

Jetzt ersetzt man die Töne mit Schwingungsverhältnissen und bringt gleiche Töne auf den gleichen Wert:

                Schwingungsverhältnisse:
--------------------------------------------------------
Subdominante  | 4 :  5 :  6                            | *4
Tonika        |           4 :  5 :  6                  | *6
Dominante     |                     4 :  5 :  6        | *9
--------------------------------------------------------
Subdominante  |16 : 20 : 24                            |
Tonika        |          24 : 30 : 36                  |
Dominante     |                    36 : 45 : 54        |
--------------------------------------------------------
alle Töne     |16 : 20 : 24 : 30 : 36 : 45 : 54        | F, A und D in den
              |*2   *2                       /2        | Oktavraum oktavieren
--------------------------------------------------------
alle Töne im  |                                        |
Oktavraum     |32   40   24   30   36   45   27        |
--------------------------------------------------------

Jetzt haben wir alle Töne innerhalb der Oktave und brauchen sie nur noch zu sortieren, und anschließend zueinander ins Verhältnis zu setzen und kürzen:

    Alle Töne nach Tonhöhe Sortiert und oktavierter Grundton:
  ----------------------------------------------------------------
          C    D    E    F    G    A    B    C   |
         24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48   |
  ----------------------------------------------------------------
        |                                        | gekürzt mit
  C : D | 8 :  9                                 | /3
  D : E |      9 : 10                            | /3
  E : F |          15 : 16                       | /2
  F : G |                8 :  9                  | /4
  G : A |                     9 : 10             | /4
  A : B |                          8 :  9        | /5
  B : C |                              15 : 16   | /3
  -----------------------------------------------------------------

Nun haben wir endlich die Tonschritte unserer Tonleiter, deren Haupstufen nur aus reinen Dreiklängen bestehen. Wie man sieht gibt es unterschiedlich große Ganztonschritte (8:9 und 9:10). Man kann schon erahnen, daß eine Modulation in eine neue Tonart schief klingen wird...

Gruß

 

[HëllRÆZØR]

Und wenn ja, wieso gibt es für die kleine Terz und große Sekunde unterschiedliche Schwingungsproportionen?

Das Problem ist, dass die enharmonische Schreibweise (a, f#, große Terz, kleine Septe, ...) auf die pythagoreische Stimmung zurückgeht, die auf Quintstapelung und Oktavgleichheit beruht, d.h. alle Intervalle dort sind aus den Faktoren 2 (Oktave) und 3 (oktavierte Quinte) zusammengesetzt. Mit dieser Schreibweise kann man Intervalle dieser Form eindeutig beschreiben, z.B. ist eine große Terz dort eindeutig gegeben mit dem Verhältnis 81:64 = (3*3*3*3 : 2*2*2*2*2*2) = (3^4) : (2^6), eine andere Möglichkeit gibt es nicht. Wenn du zusätzlich das Verhältnis 5:4 zulässt, geht die Eindeutigkeit verloren, denn Intervalle mit einem Unterschied von (81:64) : (5:4) = (81:64) : (80:64) = 81:80 erhalten die gleiche Bezeichnung; d.h. du kannst jedes beliebige Intervall beliebig oft um das Intervall 81:80 ("syntonisches Komma") verschieben, und die Intervallbezeichnung ändert sich trotzdem nicht. Ähnlich ist es mit der gleichen Benennung der "Kleinen Septen" 16:9, 9:5 und 7:4.

Zur Lösung dieses Problems könnte man die enharmonische Schreibweise erweitern, z.B. ein "+" zum Erhöhen und ein "-" zum Erniedrigen um ein syntonisches Komma. Die große Terz mit Verhältnis 81:64 würde man dann z.B. als "Große 3" bezeichnen, die große Terz mit Verhältnis 5:4 als "Große 3-". (Ja ich weiß, schlechtes Beispiel, hat natürlich nix mit der Akkordschreibweise für "Moll" zu tun ^^).

Je mehr Primfaktoren (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) allerdings dazu kommen, desto mehr dieser Versetzungszeichen bräuchte man, um das Intervall eindeutig zu notieren, oder eine völlig andere Schreibweise...

 

[Omega Minus]

Blechbläser, die nur Naturtöne blasen, haben z.B ein - für unsere Ohren - *verdammt hohes* F (Bei C als Grundton).

Grund:
F ist der 11. Ton = 11fache Frequenz des Grundtones.

Bei dem Beispiel oben:
C = 24, F= 32, G = 36
wäre
"Natur-F": 33
Nun ist 33/32 = 1,031, also so lecker einen Viertelton zu hoch.

Anhören - Staunen!

Grüße
Roland